Extrempunkte der Schar


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Aufgabe 1 Ortsgerade der Extrempunkte

Eine Gerade, auf der alle Extrempunkte einer Funktionenschar liegen, nennt man die Ortsgerade der Extrempunkte. Wie wird diese nun ermittelt? Zunächst benötigen wir die Extrempunkte.

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Extrempunkte

Es gilt die notwendige Bedingung: \(h'(x) =0\)

Wir definieren die erste Ableitung

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und berechnen die Gleichung.

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Mit

\( \quad x_1 \; = \; -\frac{1}{\sqrt{a}} \quad \textit{und} \quad x_2 \; = \; \frac{1}{\sqrt{a}} \)

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existieren nur Extrempunkte mit der Voraussetzung \(a > 0\), denn der Wurzelinhalt muss größer gleich Null sein und der Nenner darf nicht Null ergeben.

Weiter gilt die hinreichende Bedingung: \(h''(x) \not= 0\)

Wir bilden die zweite Ableitung

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und überprüfen die Lösungen.

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Es folgt

\( \quad \begin{array}{ r c r c c c l } h''(x_1) & = & 2 \cdot \sqrt{a} & > & 0 & \quad \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt} \\[8pt] h''(x_2) & = & -2 \cdot \sqrt{a} & < & 0 & \quad \Rightarrow & \textit{Hochpunkt} \\ \end{array} \)

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Mit den Funktionswerten

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ergeben sie die Tiefpunkte \(\left(-\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| -\frac{1}{\sqrt{a}} \right)\) und die Hochpunkte \(\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| \frac{1}{\sqrt{a}} \right)\) der Schar.

\(\\[1em]\)

Ortsgerade

Mit den Hochpunkten der Schar ist

\( \quad \begin{array}{ r c r c l } \textrm{I} && x & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\[8pt] \textrm{II} && y & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\ \end{array} \)

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Zur Bestimmung der Ortsgeraden wird nun folgendermaßen vorgegangen:

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Verwenden wir statt den Koordinaten der Hochpunkte die der Tiefpunkte, so führt dies zum gleichen Ergebnis.

Die Gleichung

\( \quad y \; = \; x \)

ist die Ursprungsgerade mit der Steigung \(m=1\).

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Viereck mit Flächeninhalt von 144

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Das eingezeichnete Viereck stellt ein gedrehtes Trapez

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dar. Für Trapeze gilt die Flächenformel

\( \quad A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h \)

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Wie aus der voherigen Aufgabe hervorgeht, liegen alle Hochpunkte bei \(\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \Bigl| \frac{1}{\sqrt{a}}\right)\). Daraus ergeben sich folgende Werte für die Trapezformel:

\( \quad \begin{array}{ r c c } a & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\[8pt] c & = & 2 \\[6pt] h & = & \frac{1}{\sqrt{a}} \\ \end{array} \)

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Eingesetzt in die Formel ergibt sich nun folgende Gleichung:

\( \quad 144 = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{a}} + 2}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} \)

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Wir lösen die Gleichung mit dem CAS.

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